6. Эта ужасная геометрическая прогрессия

Июль 31, 2009

Миром правит экспонента! (Экспонентой математики называют показательную функцию, то есть функцию вида ах. При дискретных значениях аргумента х получаем известную геометрическую прогрессию). Человеческая же (особенно обывательская / интуиция, психология более ориентирована на линейные зависимости. Отсюда многие недоразумения и даже заблуждения. Мы полагаем, что удвоив, например, вложения в сельское хозяйство, мы вдвое увеличим его производство, что если система держалась достаточно долго (скажем, 73 года), то и на наш век хватит. К сожалению, это не так. Вот несколько примеров, совершенно элементарных, иллюстрирующих скверный нрав экспоненты.

1. Начнем с классической задачи. Существует легенда, согласно которой изобретатель шахматной игры, запросил у властелина, восхищенного этой игрой, следующую награду: за первую клетку доски — одно пшеничное зерно, за вторую — два, за третью — четыре, и т. д., за каждую последующую — в два раза больше, чем за предыдущую.  Считая, что  масса одного зерна равна   1/4 г,  а  максимальный  годовой  урожай  Земли равен 5×10ю т (эта оценка завышена. Ее можно получить, если считать, что вся пахотная земля идет под зерновые), оцените, за сколько лет можно собрать по всей Земле  урожай,  необходимый  для  выплаты  причитающейся награды.

Вот еще две простые, но поучительные задачи на ту же тему.

2. Хозяин сидит на берегу пруда, зарастающего сорняками. Каждый день число сорняков удваивается. Он собирается приступить к расчистке, как только зарастет половина пруда. Через месяц половина пруда оказалась заросшей. Сколько дней у него остается на расчистку?

3. Известно, что некий вид бактерий размножается делением со скоростью  1 деление в секунду  (каждую секунду  бактерии  раздваиваются).  Лаборант заметил, что если посадить в пустой сосуд 1 бактерию, то через 1 минуту этот сосуд окажется полным. Через какое время наполнится сосуд, если вначале посадить в него 2 бактерии?

Комметирование закрыто now!