Ответ на задачу 56

Июль 2, 2009

56.1.    Утверждение следует из того, что возможное число сыгранных матчей меньше числа команд (исключая сначала команды, не сыгравшие ни одного матча). Здесь «кролики» — команды, клетки — число сыгранных матчей.

56.2.    Рассмотрим последовательность чисел 1, 11, 111,…. Допустим, что ни одно не делится на 1993. Поскольку остатки от деления на 1993 могут равняться числам от 1 до 1992, то найдутся среди нашей последовательности два числа, дающие при делении на 1993 одинаковые остатки. Тогда их разность делится на 1993. Откинув в этой разности нули, получим число из одних единиц, делящееся на 1993.

56.3.    Возьмем нес четные числа среди 11 выбранных и разделим каждое па максимальную степень двойки, чтобы в частном получилось нечетное число. Имеем теперь 11 нечетных чисел меньше 20. Среди них есть равные (всего нечетных чисел 10). Отсюда следует наше утверждение. 56.4. Пусть п —- наибольшее число сторон у грани. Тогда к соответствующей грани прилегает п граней с числом сторон меньше п. Среди них будут хотя бы две с равным числом сторон.

56.5. Данную доску можно разрезать на два прямоугольника 10 способами  (5 вертикальных разрезов и 5 горизонтальных). Если при этом задеваются всякий раз костяшки домино, то при каждом разрезе мы должны разрезать хотя бы две костяшки. При этом различными разрезами разрезаем различные костяшки, т. е. число разрезаемых костяшек будет .10×2 = 20, а всего костяшек— 18. Противоречие. Значит, хотя бы один разрез не задевает ни одной костяшки домино.

Комметирование закрыто now!