Ответ 350

Январь 1, 2008

Ответ 350.IX.
 Есть 4 числа, каждое из которых на +1 или на — 1 отличается от суммы факториалов его цифр (0!=1):

1466, 81 368, 372 970 и 372 973.

Ответ 350.X.
 Пусть n — искомое число. По условию,
доканчивается теми же тремя цифрами. Следовательно, разность
 оканчивается тремя нулями.

Рассмотрим выражение nk—n, где k — любое целое положительное число. Вынесем n за скобки:

Сразу видно, что это выражение делится на n, но оно делится и на n—1. Следовательно, nk—n делится на произведение чисел n и n—1, то есть на n2—n. Но так как n2—n оканчивается тремя нулями, то и nk—n должно оканчиваться не меньше чем тремя нулями, то есть nk при любом (целом и положительном) к должно оканчиваться теми же тремя цифрами, что и n. Для решения задачи достаточно, следовательно, ограничиться только теми числами, квадрат которых оканчивается теми же тремя цифрами.

Числа n и n—1 как два соседних натуральных числа — взаимно простые, а их произведение, как установлено, должно делиться на 1000, следовательно, одно из них должно быть четным и делиться на 8, а другое должно быть нечетным и делиться на 125. Трехзначные числа, удовлетворяющие последнему условию, подобрать нетрудно. Их только четыре: 125, 375, 625 и 875. Соседние же с ними числа таковы: 124 и 126, 374 и 376, 624 и 626, 874 и 876. Но на 8 делятся из них только два: 376 и 624. Значит, они искомые.

Комметирование закрыто now!