Ответ 342

Январь 1, 2008

Ответ 342.I.
 По условию одно число от другого должно отличаться только расположением цифр.

Возьмем одну цифру, скажем 1. Она может занять любое из десяти мест десятизначного числа. Вот уже 10 возможных десятизначных чисел. В каждом из этих чисел остается по 9 свободных мест, и на любое из них можно поместить вторую цифру, скажем 2. Так образуется уже
чисел, в каждом из которых еще по 8 свободных мест для третьей цифры. Заполняя свободные места по одному разу цифрой 3, образуем
 чисел, в каждом из которых остается по 7 свободных мест для четвертой цифры. Все возможные варианты расстановки четвертой цифры (4) дадут
 чисел с шестью свободными местами в каждом

Так, продолжая раз за разом подсчитывать все возможные случаи расположения цифр, найдем, что 10 цифр на десяти местах можно разместить 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1=3 628800 способами. Но так как среди цифр есть нуль, то не во всех этих 3 628 800 случаях образовавшееся число будет десятизначным. Когда нуль на первом месте слева, например в числе0 123 456 789, то он не считается значащей цифрой, число становится не десяти, а девятизначным и условию не удовлетворяет. Каждая цифра должна побывать на первом месте одинаковое количество раз. Всех цифр 10. Следовательно, в
 части от 3 628 800 возможных случаев первой цифрой

будет нуль, а число—девятизначным. В остальных же случаях (число которых можно сразу подсчитать, умножая
 на 3 628 800) будут получаться требуемые десятизначные числа. Итак, употребляя каждую из 10 цифр только по одному разу, можно составить

 десятизначных чисел.

Ответ 342.II.
 4938273605 : 9=548 696 845. Имеются ли еще десятизначные числа с неповторяющимися цифрами, которые при делении на 9 дают симметричные частные?

Ответ 342.III.
 Каждое произведение числа а на число 1й группы состоит из девяти неповторяющихся цифр; каждое произведение числа b на число 1й группы состоит из десяти неповторяющихся цифр. Произведения чисел а и Ь на числа 2й группы содержат повторяющиеся цифры. Числа первой группы не имеют отличных от единицы общих делителей с числами а и b. Числа второй группы — имеют. Если а умножить на 8 и прибавить 9, то получится b :

12 345 689 ∙ 8+9=987 654 321.

Ответ 342.IV.
 Причина явления заключается в том, что произведение состоит из одних единиц: 12 345 679 X 9=111 111 111.

Комметирование закрыто now!