Ответ 287

Январь 3, 2008

Сочетаниями НП будут последовательно: (1, 2); (3, 5); (4, 7); (6, 10); (8, 13); (9, 15),…

Обозначая последовательно через аi
первые числа и через bi
вторые числа, составляющие сочетания НП, расположим их в два ряда:

Замечаем, что b1 больше a1 на 1, b2 больше a2 на 2, …, bn больше an на n, так что

По какому же принципу построен первый ряд чисел?

Мы знаем, что
 Образуем новую последовательность чисел (III) пока из двух чисел:

(III) {
1, 2, …

Наименьшим из натуральных чисел, отсутствующих в последовательности (III), является число 3. Оно и будет следующим числом ряда (I): а2=3. Отсюда b2=3+2=5.

Пополняем последовательность (III) числами 3 и 5:

Наименьшим из натуральных чисел, отсутствующих в последовательности (III), является 4. Оно будет следующим числом ряда (I) :
 Отсюда
 Тогда

(III) { 1, 2, 3, 4, 5,7, …

По тому же принципу устанавливаем, что
. Отсюда b4=6+4=10 и т. д.

Итак, в каждом сочетании НП
 меньшее число (аn) является наименьшим натуральным числом из тех, которые еще не встречались в предыдущих сочетаниях. По формулам

выведенным проф. Арнольдом (Позже эти формулы были выведены несколько иным путем математиком Минь Сыхао и опубликованы на китайском языке в журнале «Чжунго шусюэ цзачжи», 1952, № 2.), можно и непосредственно получить все сочетания НП, полагая n=1, 2, 3, … Знак [ ] указывает, что если число, охваченное этими скобками, выразить в виде десятичной дроби, то необходимо оставить только целую часть этого числа, а все его десятые, сотые и прочие доли отбросить. Так, [1,61]=1, [3,2]=3 и т. д. Для полной ясности теории игры Цзяньшицзы приведу без доказательства еще одну теорему, обоснованную Минь Сы-хао.

Соблюдая правила игры, никакое сочетание НП нельзя одним ходом превратить в другое сочетание НП, но любое сочетание, не являющееся сочетанием НП, можно одним ходом превратить в сочетание НП.

Из этой теоремы следует, что любое сочетание, не входящее в группу сочетаний НП, является сочетанием НВ.

Кстати, по поводу числа
, с помощью которого легко получаются пары чисел, обеспечивающие победу в игре Цзяньшицзы. Оно должно быть знакомо учащимся старших классов средней школы. Это — коэффициент золотого сечения. Это же число входит в состав формулы, позволяющей найти любой член ряда Фибоначчи, не зная предшествующих членов (см. стр. 375).

Связь между формулами игры и числами Фибоначчи оказалась не случайной. Один из товарищей проф. Арнольда, И. М. Абрамов, установил, что, пользуясь числовым рядом Фибоначчи

где «u0
= 1, «u1=1 и, далее, un=un-1+un-2, можно найти пару чисел, образующих комбинацию НП для любого номера n.

Для этого надо номер n искомой пары представить как сумму чисел Фибоначчи, непременно включая u0. Тогда an и bn
образуются как суммы членов ряда Фибоначчи, номера которых соответственно на 1 и на 2 больше номеров членов, составляющих число n.

Убедитесь сами в том, что пара (11, 18) является комбинацией НП.

Комметирование закрыто now!