Ответ 286

Январь 3, 2008

Правильное ведение игры и на этот раз обеспечивает победу тому, кто делает первый ход. Но найти верный путь к победе в этой игре труднее, чем в предыдущих.

Начинающий игру первым ходом должен взять 2 спички, а затем в зависимости от того, сколько спичек берет противник, придерживаться следующего правила.

Если у противника четное число спичек, то надо оставить ему такое количество спичек, которое на 1 больше кратного шести (19, 13, 7); если у противника нечетное число спичек, то надо оставить ему такое количество спичек, которое на 1 меньше кратного шести (23, 17, 11, 5), а если это окажется невозможным, то оставить ему количество спичек, кратное шести (24, 18, 12, 6).

Вы берете, например, 2 спички, а ваш противник 4 или 2 (четное число). Остается 27—6=21 спичка или 27—4=23 спички. В соответствии с правилом вы берете 2 спички или 4, чтобы оставить противнику 19. Если же противник взял 3 спички (нечетное число), то осталось 27—5=22 спички. Так как до 17 спичек довести остаток вы не можете (нельзя взять 5 спичек), то вам следует взять 4 спички чтобы остаток составил 18. Если противник взял одну спичку, то и вам следует взять одну спичку, чтобы остаток составил 27—4 =23 спички, и т. д.

Правило это вытекает из следующих рассуждений (играют А и В):

1. Пусть к концу игры на столе осталось 5 спичек. Это выгодно для А только в том случае, когда следующий ход В и он имеет нечетное число спичек. (Так как взято 22 спички, то А при этом может иметь тоже только нечетное число спичек.) Можно рассмотреть все варианты возможного продолжения игры:

А             В             А             В             А             В             А             В

имел    нечет   нечет   нечет   нечет   нечет   нечет   нечет   нечет

взял      —           1             —           2             —           3             —           4

взял      3             1             3             –             1             1             1             –

чет         нечет   чет         нечет   чет         нечет   чет         нечет

Если же В (а значит, и А) имеет четное число спичек, то оставлять на его ход 5 спичек для А невыгодно — ведет к проигрышу (убедитесь!).

2. Пусть к концу игры на столе осталось 6 спичек. Это тоже выгодно для А только в том случае, когда следующий ход В и он имеет нечетное число спичек. (При этом А, очевидно, имеет четное число спичек.) В самом деле:

А             В             А             В             А             В             А             В

имел    чет         нечет   чет         нечет   чет         нечет   чет         нечет

взял      —           1             —           2             —           3             —           4

взял      4             1             4             —           2             1             2             —

чет         нечет   чет         нечет   чет         нечет   чет         нечет

Если же В имеет четное число спичек (значит, А нечетное), то оставлять на его ход 6 спичек для А невыгодно — ведет к проигрышу. В самом деле, стоит только В взять одну спичку, и тогда А оказывается в таком же положении, в каком был В при оставшихся пяти спичках (см. п.  1).

3. Пусть к концу игры осталось на столе 7 спичек. Это выгодно для А только в том случае, когда следующий ход В и он имеет четное число спичек. (При этом А, очевидно, имеет тоже четное число спичек.) В самом деле:

А

В

А

В

А

В

А

В

имел

чет

чет

чет

чет

чет

чет

чет

чет

взял

1

2

3

4

взял

1

4

1

4

2

1

далее тся к

своди-п.  1

чет

нечет

чет

нечет

чет

нечет

Если же В (а значит, и А) имеет нечетное число спичек, то оставлять на его ход 7 спичек для А невыгодно — ведет к проигрышу. В самом деле, стоит только В взять одну спичку, и тогда А оказывается в таком же положении, в каком был В при оставшихся 6 спичках (см.п. 2).

4. Оставлять после своего хода 8, 9 или 10 спичек во всех случаях для А невыгодно — ведет к проигрышу. Пусть, например, после хода А на столе осталось 8 спичек. Возможны 2 случая:

I.             А имеет нечетное число спичек, В — четное; В берет 3 спички; теперь у него тоже нечетное число спичек. Остается на столе 5 спичек. В этом случае, как известно (см. п. 1), проигрывает тот, чей ход. Ход А, значит, А проигрывает.

II.            А имеет четное число спичек, В — нечетное; В берет одну спичку. У него становится четное число спичек. Остается на столе 7 спичек. В этом случае, как известно (см. п. 3), тоже проигрывает тот, чей ход. Ход А, значит, A проигрывает. Такая же возможность повернуть игру в свою пользу появляется у В и в тех случаях, когда

A после своего хода оставит на столе 9 или 10 спичек. Анализ этих случаев проведите самостоятельно.

5. При дальнейшем увеличении числа спичек, оставленных на столе после хода А, то есть для 11, 12, 13.,.. спичек, условия выигрыша повторяются в том же порядке, как для 5, 6, 7,… оставленных спичек, что и подтверждает высказанное выше правило ведения игры «на выигрыш».

Пусть, например, после хода А осталось на столе 11 спичек. Нетрудно показать, что А выигрывает, если у В (а значит, и у самого А) нечетное число спичек. Действительно,

Рассмотрите сами еще несколько случаев, хотя бы, например, для 12 и 13 оставленных спичек.

6. Остается еще показать, почему при 27 спичках первым ходом следует брать именно 2 спички — не больше и не меньше. Если вы возьмете 1 спичку, то противник может взять 2; останется 24 спички, и вам не удастся оставить ему 19 спичек, как того требует правило.

Если вы возьмете 3 спички, то противник может взять 1; останется 23 спички. Ход ваш, а при 23 оставшихся спичках проигрывает тот, кто имеет нечетное число спичек и делает очередной ход (см. п. 5).

Если вы возьмете 4 спички, то и противник возьмет столько же; останется 19 спичек. Ход ваш, а при 19 оставшихся спичках проигрывает тот, кто имеет четное число спичек и делает очередной ход (см. п. 5).

Если же вы возьмете 2 спички, то, сколько бы ни взял противник, вы сможете повернуть игру в свою пользу в соответствии с правилом.

Комметирование закрыто now!