Ответ 284

Январь 3, 2008

Может. Предварительный расчет удобнее вести «от конца». В последнем туре первый игрок должен оставить на долю второго один предмет. Сколько предметов он должен оставить второму игроку в предпоследнем туре? Очевидно, 5.

В самом деле, если теперь второй игрок возьмет 1, 2 или 3 предмета, то первый игрок может взять соответственно 3, 2 или 1 предмет, и во всех случаях на долю второго игрока остается 5 — 4 = 1 предмет.

Рассуждая аналогично, найдем, что еще раньше первый игрок должен оставить второму 9 предметов. Возьмет ли теперь второй игрок 1, 2 или 3 предмета, первый игрок может взять соответственно 3, 2 или 1 предмет, и во всех случаях на долю второго игрока остается 9 — 4 = 5 предметов.

Всего предметов 11. Следовательно, начинающий игру должен взять 2 предмета, чтобы оставить второму 9; во втором туре он должен оставить второму 5 предметов, тогда в третьем туре он сможет оставить своему партнеру 1 предмет и выиграть игру. Количества предметов, оставляемых (от конца) первым игроком второму: 1, 5, 9, составляют ряд чисел, в котором первое число 1, а каждое последующее больше предыдущего на 4. Продолжая этот ряд чисел дальше, получим ключ к выигрышу игры в случае 30 предметов: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29. Следовательно, при 30 предметах игрок, начинающий игру, должен взять 1 предмет, оставив своему партнеру 29, и в каждом следующем туре оставлять ему соответственно 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1 предметов.

Обобщение игры. Рассуждая аналогично предыдущему, найдем, что выиграет игру тот, кто сможет оставить своему противнику следующие количества спичек (считая «от конца»):

1, р + 2, 2р + 3, Зр + 4 и т. д. до числа, ближайшего к n, но меньшего, чем n. Обозначим его через N.

Тогда, придерживаясь указанного правила, выиграет первый игрок, если в первый раз возьмет n—N спичек. Если же n—N=0, то выиграет игру не первый игрок, а второй.

Комметирование закрыто now!