Ответ 277

Январь 4, 2008

Ответ 277.1.

Разбиваем 9 монет на 3 равные группы и кладем по 3 монеты на каждую чашку весов (первое взвешивание); третью группу оставляем в стороне. Возможны 2 случая.

Первый случай. Весы остаются в равновесии; тогда искомая монета в числе оставленных в стороне. Выбираем из этих трех оставленных монет любые 2 и кладем по одной на каждую чашку весов (второе взвешивание). Если теперь равновесия не будет, то чашка с фальшивой (более легкой) монетой пойдет вверх; если же весы останутся в равновесии, то искомая монета — третья, не по павшая на весы.

Второй случай. Равновесия нет; следовательно, искомая монета на той чашке, которая пошла вверх. Таким образом, и в этом случае первое же взвешивание определяет тройку монет, среди которых искомая. Вторым взвешиванием (так же как и в первом случае) выделяем искомую монету.

Ответ 277.2.
 Решается аналогично первой задаче. Дополнительная трудность здесь в том, что надо догадаться разбить данные здесь 8 монет на неравные группы: две группы по три монеты в каждой и одна группа в 2 монеты. Кладем на весы первые две группы — по 3 монеты на каждую чашку весов (первое взвешивание). Если весы останутся в равновесии, то искомая монета среди оставшихся двух, и ее, как более легкую, сразу выделим вторым взвешиванием. Если же весы не останутся в равновесии, то фальшивая монета на той чашке весов, которая пошла вверх. Выбираем теперь из этих монет любые 2 и кладем по одной на каждую чашку весов (второе взвешивание). Если равновесия не будет, то опять-таки чашка с фальшивой монетой пойдет вверх; если же весы останутся в равновесии, то искомая монета третья, не попавшая на весы.

Ответ 277.3.
 Вся трудность в том, что относительно фальшивой монеты не известно заранее, легче она или тяжелее настоящих. Поэтому здесь, разделяя монеты на 3 группы по 4 монеты в каждой группе, необходимо их индивидуализировать, например перенумеровать. На одну чашку весов положим первую группу монет, имеющих, скажем, номера 1, 2, 3 и 4, а на вторую чашку весов — вторую группу монет с номерами 5, 6, 7 и 8 (первое взвешивание). Возможны 2 случая.

Случай А. Весы в равновесии. Следовательно, фальшивая монета — среди третьей группы монет с номерами 9, 10, 11 и 12. Сравним теперь вес трех из них, например девятой, десятой и одиннадцатой, с монетами первой, второй и третьей (второе взвешивание). Если весы останутся в равновесии, то фальшивая монета двенадцатая, и сравнивая ее, например, с первой, о которой стало известно, что она настоящая (третье взвешивание), определяем, будет ли фальшивая монета тяжелее настоящей или легче. Если же второе взвешивание не даст равновесия, то фальшивая монета или 9, или 10, или 11, причем по положению чашки весов с этими монетами сразу же выясняется, какая она — более тяжелая или более легкая. Допустим, перетянула чашка с монетами 9, 10, 11. Значит, фальшивая — более тяжелая. Чтобы выделить ее из этих трех номеров, достаточно еще одного (третьего) взвешивания. Для этого положим на весы монеты 9 и 10. Тогда либо фальшивая перетянет, либо она под № 11.

Случай Б.

Введем следующие условные обозначения:

— монета,

— монета, оказавшаяся при первом взвешивании на перетянувшей чашке весов,

— монета заведомо не фальшивая,

— монета, подозреваемая фальшивой,

— знак сравнения монет.

Тогда схема решения будет выглядеть так:

Первое взвешивание не привело к равновесию. Перетянула, скажем, чашка с монетами 1, 2, 3 и 4. Тогда либо искомая монета среди монет 1, 2, 3 и 4 (первая группа) и более тяжелая, либо среди 5, 6, 7 я 8 (вторая группа) и более легкая. Становится известным при этом, что монеты третьей группы 9, 10, 11 и 12 настоящие. Вторым взвешиванием сравним монеты 1, 2 и 9 (две монеты из первой группы и одна из третьей) с монетами 3, 4 и 5 (другие две из первой группы и одна из второй группы). Монеты б, 7 и 8 из второй группы пока откладываем в сторону. Возможны три случая:

1. Равновесие. Фальшивая монета находится, следователь в более легкой группе, среди монет 6, 7, 8. Третьим взвешиванием сравниваем любые две из этих трех монет и тем самым выделяем фальшивую, устанавливая, что она более легкая.

2. Тяжелее группа монет 3, 4 и 5. Третьим взвешиванием сравниваем монеты 3 и 4. Если весы останутся в равновесии, то фальшивая монета 5 более легкая, если равновесия не будет, то фальшивая монета — более тяжелая — та, которая перетянет.

3. Тяжелее группа монет 1, 2 и 9. Третьим взвешиванием сравниваем, например, монеты 1 и 2. В случае равновесия фальшивая монета 5 более легкая; если равновесия не будет, то фальшивая монета — более тяжелая — та, которая перетянет.

Приведенное решение не является единственным, так как можно варьировать группы монет, предназначенных для второго взвешивания.

Ответ 277.4.
 Варианты решения задачи возникают после того, как в результате первого взвешивания определились 3 группы по 4 монеты: более тяжелая группа (т), более легкая группа (л) и группа заведомо настоящих монет (н). Москвич Б. Раскин исчерпывающе рассмотрел возможные случаи дальнейших действий.

Очевидно, что к третьему взвешиванию должна остаться такая комбинация монет, которая позволила бы одним взвешиванием выделить фальшивую монету. Это, во-первых, одна монета, безразлично, из группы т, или из группы л. Во-вторых, две монеты, безразлично, обе т, или обе л, или одна т и одна л. В-третьих, три монеты, безразлично, все из одной группы, или две т и одна л, или наоборот.

Из четырех монет выделить фальшивую одним взвешиванием уже невозможно как бы мы их ни комбинировали. Необходимо также помнить и о том, что третьим взвешиванием придется испытывать или монеты, не взятые для второго взвешивания (в случае равновесия при втором взвешивании), или монеты, взятые для второго взвешивания.

Из сказанного следует, что комбинация, оставляющая не взятой при втором взвешивании одну монету л, или одну монету т, практически неосуществима. В самом деле, тогда пришлось бы вторым взвешиванием испытывать 4 монеты одной группы и 3— другой, а если именно в этой комбинации находится фальшивая монета, то невозможно указанные монеты распределить по чашкам весов так, чтобы третье взвешивание позволило выделить фальшивую монету.

В таблице, приведенной на следующей странице, перечислены остальные практически возможные комбинации монет, взятых и не взятых для второго взвешивания, обеспечивающие выделение фальшивой монеты третьим взвешиванием.

Всего 7 различных комбинаций для второго взвешивания и, следовательно, 7 возможных вариантов решения задачи. Для каждой из этих комбинаций существует «противоположная», например для невзятых монет 2 т + 0 л вместо 0 т + 2 л, но легко понять, что «противоположные» комбинации не дают решений, принципиально отличных от рассмотренных семи.

В каждом из рассматриваемых семи случаев и третье взвешивание допускает варианты, но тоже принципиально неразличимые, следовательно, не дающие существенно новых решений.

Комметирование закрыто now!