Ответ 187

Январь 6, 2008

1) Получить в сечении куба правильный пятиугольник невозможно. В самом деле: для получения правильного пятиугольника секущая плоскость должна пересечь пять из шести граней куба. Но все его грани попарно параллельны. Следовательно, в сечении должна получиться фигура, имеющая параллельные стороны (когда две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии пересечения параллельны), чего в правильном пятиугольнике быть не может.

2) Если разрезать куб по плоскости, проходящей через такие, например, три вершины, как D1, А и С (рисунок а), то в сечении, очевидно, получится правильный треугольник А D1С, так как его сторонами будут диагонали А D1, AС, D1С равных квадратов.

Правильный треугольник получается не только в сечении А D1С, но и в параллельном ему сечении А1ВС1, а также в любом сечении, параллельном указанным, но расположенном не между ними.

Самостоятельно выясните, какая получится фигура при пересечении куба плоскостью, параллельной сечениям АD1С и А1ВС1, расположенной между ними?

Чтобы получить в сечении правильный шестиугольник, необходимо провести плоскость через точки а, b, с, d, е, f — середины ребер А1В1, АА1, АD, DС, СС1, В1С1 (рисунок б). Используя середины других ребер, можно еще получить правильные шестиугольники (всего 4), но все они будут равными.

3) Секущая плоскость может пересечь каждую грань куба не больше одного раза, а всех граней в кубе 6. Следовательно, в сечении куба плоскостью невозможно получить многоугольник с числом сторон, большим чем 6.

 

К задаче 187.

Комметирование закрыто now!