Ответ 176

Январь 7, 2008

Девочка из Дзауджикау предлагает взять сначала произвольный прямоугольник с целочисленными сторонами и разбить его на единичные квадраты (см. рисунок). Рас             смотрим теперь «каемку» шириной в одну квадратную клетку, примыкающую к сторонам прямоугольника (на рисунке а «каемка» заштрихована).

Площадь «каемки» — это уже часть площади прямоугольника, но число единичных квадратов в «каемке» всегда на 4 единицы меньше, чем число, выражающее периметр прямоугольника. Следовательно, оставшаяся  «сердцевина» прямоугольника незаштрихованная часть на рисунке а) непременно должна содержать 4 единичных квадрата.

«Сердцевина» искомого прямоугольника — также прямоугольник. Но 4 единичных квадрата можно лишь двумя способами расположить в форме прямоугольника (незаштрихованные части на рисунках б и в). Окаймляя их, мы получаем два решения:

1) квадрат 4X4;

2) прямоугольник 6X3.

Алгебраическое решение задачи приводит к неопределенному уравнению с двумя неизвестными. В самом деле, пусть размеры искомого прямоугольника х и у. Тогда его периметр равен 2(х+у), а площадь — ху.

По условию, 2(х + у) = ху.

Если х и у не обязательно целые, то это уравнение имеет бесчисленное множество решений, но в натуральных числах оно, действительно, имеет только три решения:

х = 4, у = 4,

х = 6, у = 3,

х = 3, у = 6.

В геометрическом смысле последние два решения тождественны.

Комметирование закрыто now!