Ответ 113

Январь 9, 2008

Задача имеет единственное решение. Оно представлено на рисунке. Чтобы не блуждать в потемках при отыскании решения, можно воспользоваться следующим приемом: поместить звездочку во втором столбце клеток так низко, как это позволяет положение звездочки в первом столбце клеток, и в соответствии с условием: располагать звездочки только на белых клетках; в третьем столбце клеток следует поместить звездочку опять по возможности на самую низкую клетку и т. д., всегда стремясь поместить, в следующем столбце звездочку настолько низко, насколько это позволяют звездочки, стоящие в предыдущих столбцах. Как только окажется, что в столбце нигде нельзя поместить очередную звездочку, следует поднять звездочку в предыдущем столбце на минимально возможное число клеток (но ставить звездочку всегда только в соответствии с условием задачи); если же поднимать ее больше некуда, то снять совсем и поднимать теперь опять предыдущую звездочку и т. д., продолжая размещать остальные звездочки, каждый раз руководствуясь, принятым правилом: поднимать поставленные звездочки выше только в том случае, если справа совсем нет места для очередной звездочки.

Такой процесс проб, может быть, окажется и длительным, но зато он систематичен и непременно приведет к цели.


Ответ 114.1.

Ответ 114.1.

Положим, что буквы одинаковы. Поместим одну букву в какой-нибудь клетке диагонали АС, например в левом верхнем углу (рисунок). Среди клеток второй диагонали BD есть одна клетка, стоящая в том же горизонтальном ряду, где поставлена первая буква, и одна клетка в том же вертикальном ряду; в одной из остальных двух клеток второй диагонали можно поставить вторую букву.

Легко убедиться в том, что после того, как две буквы поставлены, место положение остальных двух букв

определяется однозначно, то есть в каждом из не занятых буквами горизонтальных рядов есть только по одной

клетке, куда можно в соответствии с условием задачи поместить остальные буквы.

Теперь нетрудно подсчитать количество возможных решений. Для каждого из четырех возможных расположений первой буквы в одной из клеток диагонали АС имеется два возможных расположения второй буквы по диагонали BD, то есть всего 4X2=8 случаев. Все 8 решений можно получить из одного путем поворачивания и переворачивания (другими словами, путем отражения в зеркале) квадрата,

Положим теперь, что данные 4 буквы различны — а, b, с, d и размещены вместо букв а в те же клетки, какие показаны на стр. 435 в каком-нибудь порядке, например в таком: а, b, с, d. Но в эти же клетки можно поместить буквы в другом порядке, например в таком: b, с, d, а.

Так можно изменять порядок расположения букв, не меняя занятых клеток, 24 раза. Все это будут различные решения. Всего различных решений будет: 8X24=192.

Ответ 114.2.
 Из условия задачи следует, что буквы, стоящие в угловые клетках, должны быть различны. Поэтому прежде всего поставим в произвольном порядке 4 буквы в угловые клетки (см. рисунок а)

В средних клетках диагонали, содержащей буквы а и d, должны стоять буквы b и c, но они могут быть поставлены двумя способами (рисунок б и в).

После того как указанные 6 клеток заполнены, остальные клетки в соответствии с условием могут быть заполнены единственным образом. Для этого прежде всего следует расставить буквы в крайних горизонтальных и вертикальных рядах, а потом во второй диагонали. Окончательное расположение показано на рисунке:

Итак, если расставлены буквы в угловых клетках, то задача имеет два решения. Но так как 4 буквы в угловых клетках можно размещать 24 способами, то задача имеет 24X2=48 решений.

Из одного найденного расположения путем поворачивания и переворачивания (то есть путем зеркального отражения) заполненного квадрата получается еще 7 расположений.

Если условиться считать все расположения, полученные из одного путем поворачиваний и переворачиваний за одно решение, то при этом условии задача имеет 48 : 8=6 различных решений.

Комметирование закрыто now!