Ответ 102

Январь 9, 2008

Рассуждая так же, как и при решении предыдущей задачи, можно получить следующие схемы распределения ламп (в квадратике общее количество ламп):

При 18 лампах все они сосредоточиваются по углам комнаты. Если взять 36 ламп, то останутся, наоборот, все углы пустые, как это видно из схемы на следующей странице.

Таким образом, сохраняя принцип распределения ламп по 9 вдоль каждой стены комнаты, светотехник мог употребить самое меньшее 18 ламп и самое большее 36 ламп.

В последнем вопросе задачи можно разобраться либо просто путем проб, либо при помощи алгебры.

(Кому не захочется вникать в приводимые далее математические рассуждения или окажется это непосильным, тот может пока пропустить последующее изложение и приступить к решению следующей

задачи.)

Обозначим через а число ламп в каждом углу, а через b — число ламп на каждой стене комнаты. Тогда очевидно, что число n всех ламп равно n=4(a+b). Это число можно записать так: n = 2 (а + b + а) + 2b.

Здесь а+Ь+а=s — число ламп вдоль каждой стены. Если это число s оставлять неизменным, то число всех ламп n будет уменьшаться с уменьшением b и увеличиваться с увеличением b. Если b увеличится на 2, то общее число ламп n увеличится на 4. Светотехник так и поступал: увеличивая число ламп на 4, он увеличивал каждое b на 2, а для сохранения неизменной суммы s=а+b+а каждое а уменьшал на 1. При этом все время сохранялась некоторая симметричность в расположении ламп.

Но вполне возможно сохранение одной и той же суммы s ламп вдоль каждой стены комнаты и при несимметричном распределении ламп.

Пусть числа ламп, расположенных по углам комнаты, будут a1, a2, a3, и a4, а по стенам — b1, b2, b3, и b4:

Число всех ламп n можно выразить следующим образом:

где s — неизменное число ламп вдоль каждой стены:

Если s — число неизменное, то общее число ламп увеличивается с уменьшением a1+ a2+ a3+a4 и, наоборот, уменьшается с увеличением a1+ a2+ a3+a4. Прибавим, например, к b1
и b2 по х ламп, то есть всего 2 х ламп. Если а1, уменьшится на х, то s не изменится, а общее число ламп n в то же время увеличится на х. То же самое получится, если прибавить по х ламп к b1
и b3 и соответственно отнять х ламп от а2 и т.д.

Точно так же, если прибавить по ж к каждому из чисел b1, b2, b3 и b4 и отнять по х от a1
и a4 или от a2 и a3 или отнять по х/2 от каждого из чисел a1, a2, a3, и a4, то s не изменится, а число всех ламп n в то же время увеличится на 2х. Таким образом, допуская несимметричное расположение ламп, можно по желанию увеличивать их общее число n на 1, 2, 3, 4 и т. д.

Если бы светотехник увеличил число ламп с 24 до 25, то расположить их пришлось бы, например, следующим образом:

Комметирование закрыто now!