296. Угадывание задуманного числа (7 фокусов)

Март 13, 2009

Фокус 1. Задумайте число. Отнимите 1. Остаток удвойте и прибавьте первоначально задуманное число. Скажите результат. Я угадаю задуманное число.

Способ угадывания. Прибавьте к результату 2, а сумму разделите на 3. Частное — задуманное число.

Пример. Задумано 18;

18 — 1 = 17; 17*2 = 34; 34 + 18 = 52. Угадываем: 52 + 2=54; 54:3 = 18.

Доказательство. Задуманное число обозначим буквой х. Выполняем требуемые действия:

х— 1,   2(х— 1),   2(х— 1) + х.

Результат:,

2х — 2+х=Зх— 2.

Прибавляя 2, получаем Зx, а разделив на 3. получаем задуманное число х.

Фокус 2. Предложите своему другу задумать какое-либо число. Затем заставьте его несколько раз поочередно умножать и делить задуманное им число на различные, произвольно вами назначаемые числа. Результат действий пусть он вам не сообщает.

После нескольких умножений и делений остановитесь и предложите задумавшему число разделить полученный им результат на то число, которое он задумал, затем прибавить к последнему частному задуманное число и сказать вам результат. По этому результату вы немедленно угадываете число, задуманное вашим другом.

Секрет очень прост. Угадывающему самому тоже надо задумать произвольное число (например, 1) и проделывать над ним все назначаемые им умножения и деления вплоть до деления на первоначально задуманное число. Тогда в частном у него получится то же самое число, что и у другого задумавшего, хотя бы первоначально задуманные числа и были у них различными. После этого угадывающему надо вычесть из сообщенного ему результата свой результат. Разность и будет искомым числом.

Пример. Задумано число 7. Умножено на 12. Результат (84) разделен на 2. Полученное число (42) умножено на 5. Результат (210) разделен на 3. Получилось 70, а после деления на задуманное число и прибавления задуманного числа — 17.

Одновременно вы «про себя» задумали число 1. Умножаете на 12, получается 12. Делите на 2, получается 6. Умножаете на 5, получается 30. Делите на 3, получается 10. Вычитая 10 из 17, получаете искомое число 7.

Замечание 1. Для усиления эффекта вы можете предоставить возможность самому задумавшему число назначать числа, на которые ему хотелось бы умножать и делить получающиеся результаты, лишь бы он каждый раз сообщал вам эти числа.

Замечание 2. Не обязательно чередовать умножения и деления. Можно сначала назначить несколько умножений, а затем несколько делений, или наоборот.

Докажите этот фокус, т. е. покажите «на буквах», что фокус удается для любого задуманного числа.

Фокус 3. Условимся называть большей частью нечетного числа ту его часть, которая на 1 больше другой. Так, у числа 13 большая часть равна 7, у числа 21 большая часть равна 11.

Задумайте число. Прибавьте к нему его половину, или, если оно нечетное, то его большую часть. К этой сумме прибавьте ее половину или, если она нечетная, то ее большую часть. Разделите полученное число на 9, сообщите частное, и если получится остаток, то скажите, больше он, равен или меньше пяти. В зависимости от полученного ответа на вопрос задуманное число равно:

если нет остатка; + 1, если остаток меньше пяти; -¡-2, если остаток равен пяти; + 3, если остаток больше пяти.

Пример. Задумано 15. Выполняя требуемые действия, имеем: 15 + 8 = 23, 23+12 = 35, 35:9 = 3 (в остатке 8). Сообщено: «частное три, остаток больше пяти».

Угадываем: 3-4 + 3 = 15. Задумано 15.

Докажите и этот фокус. При обдумывании доказательства советую принять во внимание, что всякое целое число (значит, и задуманное) может быть представлено в виде одной из следующих форм:

4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3.

где букве n можно придавать значения: 0, 1, 2, 3, 4, …

Фокус 4. Сначала поступайте, как в предыдущем фокусе, то есть предложите задумать число и прибавить к нему его половину или его большую часть, затем снова прибавить половину получившейся суммы или ее большую часть. Но теперь вместо требования разделить результат на 9 предложите назвать по разрядам все цифры получившегося результата, кроме одной, лишь бы эта неизвестная отгадывающему цифра не была нуль. Необходимо также, чтобы задумавший число сказал разряд той цифры, которая утаена от него, и в каких случаях (в первом, во втором или в первом и втором, или ни разу) пришлось ему прибавлять большую часть числа.

После этого, чтобы узнать задуманное число, надо сложить все цифры, которые названы, и прибавить:

0, если ни разу не пришлось прибавлять большую часть числа;

6, если только в первом случае пришлось прибавлять большую часть числа;

4, если только во втором случае пришлось прибавлять большую часть числа;

1, если в обоих случаях пришлось прибавлять большую часть числа.

Далее, во всех случаях получившуюся сумму надо дополнить до ближайшего числа, кратного девяти. Это дополнение и будет утаенной цифрой. Теперь, зная все цифры результата, а значит, и весь результат, нетрудно найти и задуманное "число. Для этого надо полученный результат разделить на 9, умножить частное на 4 и в зависимости от величины остатка прибавить к произведению 1, 2 или 3.

Пример 1. Задумано 28. После того как выполнены требуемые действия, получилось 63. Утаили цифру 3. Тогда угадывающий дополняет сообщенную ему цифру десятков 6 до 9 и получает цифру единиц 3. Результат 63 обнаружен. Искомое число (63:9)* 4 = 28.

Пример 2. Задумано 125. После выполнения всех требуемых действий получилось 282. Утаена, положим, цифра сотен 2. Сообщено: цифры десятков и единиц соответственно 8 и 2, а большая часть числа прибавлялась только в первом случае.

Угадываем: 8 + 2 + 6=16. Ближайшее число, кратное девяти, 18. Значит, утаенная цифра сотен

18 —16 = 2.

Определяем задуманное число: 282:9 = 31 (остаток 3);

31*4 + 1 = 125.

Пример 3. Пусть задумавший число скажет, что последний полученный им результат состоит из трех цифр, причем первая цифра 1, а последняя 7 и большую часть числа пришлось прибавлять в двух случаях.

Угадываем задуманное число:

1+7 + 1=9.

Дополнение до числа, кратного девяти, равно нулю или девяти, но нуль по условию утаивать нельзя, следовательно, утаенная цифра 9 и весь результат 197. Делим 197 на 9;

197:9 = 21 (остаток 8).

Задуманное число 21-4 + 3 = 87.

Докажите фокус. Это нетрудно, в особенности для тех, кто уяснил суть доказательства предыдущего фокуса.

Фокус 5. Задумайте какое-нибудь число (меньшее ста, чтобы не усложнять вычисления) и возведите его в квадрат. К задуманному числу прибавьте любое число (только скажите, какое) и полученную сумму тоже возведите в квадрат. Найдите разность между получившимися квадратами и сообщите результат. Чтобы угадать задуманное число, достаточно половину этого результата разделить на число, прибавленное к задуманному, а из частного вычесть половину делителя.

Пример. Задумано 53; 532= 2809. К задуманному числу прибавлено 6:

53 + 6 = 59, 592 = 3481, 3481—2809 = 672.

Этот результат сообщен. Угадываем:

672:12 = 56,   6:2 = 3, 56 — 3 = 53.

Задуманное число 53.

Найдите доказательство.

Фокус 6. Предложите своему другу задумать любое число в пределах от 6 до 60. Пусть теперь он разделит задуманное число сначала на 3, потом его же разделит на 4, а затем и на 5 и сообщит остатки от делений. По этим остаткам при помощи ключевой формулы вы найдете задуманное число.

Пусть остатки гх, г, и г8. Запомните теперь такую формулу:

S = 40r1 + 45r2 + 3бr3.

Если получится S = 0, то задумано число 60; если же S <> 0, то остаток от деления 5 на 60 и даст вам задуманное число. Вашему другу, задумавшему число, не так-то легко будет самому додуматься до секрета угадывания, которым вы владеете.

Пример. Задумано 14. Сообщены остатки: r1 = 2, r2 = 2, r3 = 4.

Угадываем:

S =40*2 + 45*2 + 36*4 = 314;   314:60=5

и в остатке 14.

Задуманное число 14.

Не надо слепо верить формуле, предложенной без вывода. Убедитесь сначала в том, что она во всех случаях, допускаемых условием фокуса, действует безотказно, а потом демонстрируйте фокус.

Фокус 7. Уяснив математическую основу изложенных здесь фокусов, вы можете их всячески видоизменять, придумывать другие правила угадывания чисел, разнообразить предлагаемые вопросы.

Вот, например, такая тема. В предыдущем фокусе угадывания задуманного числа по его остаткам от деления были предложены в качестве делителей числа 3, 4 и 5. Заменим их другими делителями, например такими, как 3, 5, 7, и раздвинем пределы для задумываемых чисел от 7 до 100. Множители в ключевой формуле, конечно, тоже изменятся. Подберите их для новой ключевой формулы, пригодной для данного случая.

Ответ. S = 70 r1 + 21 r2 + 15 r3, где r1, r2 и r3— соответственно остатки от деления задуманного числа на 3, 5 и 7. Задуманное число равно остатку от деления S на 105 (если же S<105. то задумано S, если же S=0, то задумано 105).

Комметирование закрыто now!