287. Цзяньшицзы

Март 22, 2009

Цзяньшицзы — китайская национальная игра. Буквальный перевод слова Цзяньшицзы — выбирание камней.

Играют двое. Положив на землю две кучки камней, играющие поочередно берут камни из этих кучек, соблюдая следующие правила:

а)            из одной кучки можно брать любое количество камней (даже сразу всю кучку),

б)           можно брать камни одновременно из двух кучек, непременно по одинаковому количеству из каждой кучки.

Выигрывает тот, кто, соблюдая эти правила, сможет взять последний камень.

Камни, разумеется, можно заменить любыми другими предметами.

Игра Цзяньшицзы представляет собой дальнейшее развитие и расширение только что описанных игр со спичками. В Цзяньшицзы не ограничивается первоначальное количество предметов, раскладываются они на две кучки, и игроку разрешается брать количество предметов, не предопределяемое заранее.

Математический интерес игры — в построении ее теории, то есть в отыскании и обосновании такого способа ведения игры, который обеспечивал бы выигрыш партии определенному игроку.

Ясно, например, что в положениях (1, 0), что значит: в одной кучке 1 камень, в другой — 0 камней, и (и, п), что значит: обе кучки содержат по одинаковому количеству камней,— выиграет игру тот, кто делает очередной «ход». Он сразу возьмет все камни (в первом случае на основании пункта а), во втором — на основании пункта б) правил).

В положении (1, 2) игрок, делающий очередной ход, проигрывает. В этом легко убедиться, составив таблицу всех случаев продолжения игры от положения (1, 2):

——

В первом столбце таблицы указано число камней в каждой кучке. Цифры под А и Б указывают, сколько камней осталось в кучках после очередного хода (игрок А делает «ход» первым).

Предположим, что А берет тот единственный камень, который имеется в первой кучке (в таблице вариант 1), тогда Б берет оба камня из второй кучки и, следовательно, выигрывает.

Вариант 2 таблицы: А берет 2 камня из второй кучки, тогда Б берет 1 камень из первой кучки и выигрывает, и т. д. Во всех четырех вариантах выигрывает Б. Иначе говоря, сочетание камней (7, 2) приносит поражение игроку, делающему очередной ход. Обозначим это сочетание, как НП (начинающий проигрывает).

Продолжаем исследование. Если в первой кучке 1 камень, а во второй не меньше трех камней, то игрок А, начинающий игру, обязательно выиграет: он возьмет из второй кучки все камни за исключением двух; это приведет к положению (1, 2), то есть к такому соотношению камней, при котором игрок Б, делающий очередной «ход», проигрывает.

Отсюда следует, что положение (7, п) является сочетанием НП только для п=2; во всех остальных случаях оно является сочетанием НВ — начинающий выигрывает.

Игрок, желающий выиграть игру, должен руководствоваться таким принципом; своим ходом свести соотношение камней в кучках к сочетанию НП.

Какие же еще соотношения камней, кроме (1, 2), будут сочетаниями НП?

Рассмотрите подробно все случаи продолжения игры в положении (2, n) для n>1, затем в положении (3, n) и т. д., и вы несомненно найдете еще целый ряд сочетаний НП, знание которых обязательно для достижения победы в игре Цзяньшицзы.

Можете попытаться, далее, обнаружить закономерность в последовательности сочетаний НП и вообще собственными усилиями завершить математическую теорию игры Цзяньшицзы, но это, разумеется, нелегкая и серьезная задача, обстоятельное решение которой впервые было найдено лишь в 1930 г. московским профессором Игорем Владимировичем Арнольдом.

Комметирование закрыто now!