Алгебра

Июнь 6, 2009

Вместе с развитием математики как науки совершенствовалось и искусство решения задач. Чисто арифметические приемы решения по мере развития буквенной символики постепенно уступали пальму первенства алгебре с ее аппаратом уравнений. Обозначение неизвестных чисел буквами с последующим установлением связей между неизвестными и известными числами, то есть составление уравнения задачи, оказалось мощным, общедоступным и единообразным методом решения разнотипных задач.

Решая задачу, мы всегда рассуждаем, но стремимся при этом составить наиболее короткую цепочку рассуждений. В одних случаях удобнее и проще вести рассуждения от неизвестного к известному, завершая их составлением одного или нескольких уравнений (алгебраический путь). На этом пути для наиболее целесообразного выбора неизвестного, относительно которого составляется уравнение, следует учитывать характерные особенности условия каждой данной задачи. Чтобы впоследствии успешно решать трудные задачи, необходимо владеть алгебраическими приемами рассуждений. В других случаях, наоборот, естественнее решать задачу отдельными этапами, от известного к неизвестному, конкретно истолковывая каждый этап решения (арифметический путь).

Оба указанных пути рассуждений как бы дополняют друг друга; на каждом из них могут возникнуть остроумные и изящные способы решения задач.

Вот уже не менее полувека бытует в семьях, а иногда предлагается и в школах такая задача.

Как гусь с аистом задачу решали. Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!». Передний старый гусь ему отвечает: «Нет, нас не сто гусей! Вот, если б нас было столько, сколько есть, да еще столько, да еще полстолько, да еще четверть столько, да ты, гусь, то было бы сто гусей, а теперь… Вот и рассчитай-ка, сколько нас?».

Полетел одинокий гусь дальше и задумался. В самом деле, сколько же товарищей-гусей он встретил? Думал он, думал и, с какой стороны ни принимался, никак не мог этой задачи решить. Тут увидел гусь на берегу пруда аиста,— ходит длинноногий и лягушек ищет. Аист — птица важная и пользуется среди других птиц славой математика: по целым часам иногда неподвижно на одной ноге стоит и все думает, видно, задачи решает. Обрадовался гусь, слетел в пруд, подплыл к аисту и рассказал ему, как он стадо товарищей встретил и какую ему гусь-поводырь загадку задал, а он никак этой загадки решить не может.

—           Гм!…—откашлялся аист.—Попробуем решить. Только будь внимателен и старайся понять! Слышишь?

—           Слушаю и постараюсь! — ответил гусь.

—           Ну вот. Как тебе сказали? Если бы к встречным гусям прибавить еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да тебя, гуся, то было бы сто? Так?

—           Так! — ответил гусь.

— Теперь смотри,— сказал аист.— Вот что я тебе начерчу здесь на прибрежном песке.

Аист согнул шею и клювом провел черту, рядом такую же черту, потом половину такой же черты, затем четверть черты и еще маленькую черточку, почти точку.

Получилось следующее:

————

Гусь подплыл к самому берегу, вышел, переваливаясь, на песок, посмотрел на рисунок, но ничего не понял.

—           Понимаешь? — спросил аист.

—           Нет еще! — ответил уныло гусь.

—           Эх, ты! Ну вот, смотри: как тебе сказали,—стадо, да еще стадо, да половина стада, да четверть стада, да ты, гусь,— так я и нарисовал: черту, да еще черту, да полчерты, да четверть этой черты, да еще маленькую черточку, то — сть тебя. Понял?

—           Понял! — обрадовано проговорил гусь.

—           Если к встреченному тобой стаду прибавить еще стадо, да полстада, да четверть стада, да тебя, гуся, то сколько получится?

—           Сто гусей!

—           А без тебя сколько, значит, будет?

—           Девяносто девять.

—           Хорошо! Откинем на нашем чертеже точку, изображающую тебя, гуся, и обозначим, что остается 99 гусей. Аист своим клювом изобразил на песке:

——

—           Теперь смекни-ка,— продолжал аист, — полстада, сколько это будет четвертей?

Гусь задумался, посмотрел на линии на песке и сказал:

—           Линия, изображающая полстада, вдвое больше, чем линия четверти стада, то-есть в половине заключается две четверти.

—           Молодец! — похвалил гуся аист. — Ну, а в целом стаде сколько четвертей?

—           Конечно, четыре! — ответил гусь.

—           Так! Если теперь перевести на четверти одно стадо, да еще стадо, да полстада, да четверть стада, то сколько всего четвертей будет?

Гусь подумал и ответил:

—           Стадо — это все равно, что 4 четверти стада, да еще стадо—еще 4 четверти стада, всего 8 четвертей; да в половине стада 2 четверти: всего 10 четвертей; да еще четверть стада: всего 11 четвертей стада и это составляет 99 гусей.

—           Так! — снова подтвердил аист. — Теперь скажи, что же ты в конце концов получил?

—           Я получил,—ответил гусь, — что в 11 четвертях встреченного мной стада заключается 99 гусей.

—           А значит, в одной четверти стада сколько гусей? Гусь поделил 99 на 11 и ответил:

—           В четверти стада — 9 гусей.

—           Ну, а в целом стаде сколько?

—           В целом заключается 4 четверти … Я встретил 36 гусей! — радостно воскликнул гусь.

—           Вот то-то и оно! — важно промолвил аист.— Сам, небось, не мог дойти! .. . Эх, ты … гусь! …

Эта задача очень коротко записывается и решается на языке алгебры.

Примем четверть стада за х. Тогда целое стадо составляет 4х, а полстада — 2х.

По условию имеем:

4x+4x+2x+x:=99,

или 11х = 99, откуда х = = 99:11 = 9, а 4х=4 • 9 = 36.

Стадо состояло из 36 гусей.

Решая последующие задачи, пользуйтесь любыми знакомыми вам приемами: арифметическими, алгебраическими, графическими и т. п. Ответы, приведенные в конце книги, дополняйте своими рассуждениями и решениями.

Комметирование закрыто now!