Ответ 306

Январь 2, 2008

Наименьшим общим кратным нескольких чисел (НОК) является произведение всех простых множителей одного числа и недостающих множителей остальных чисел. Для чисел первого десятка НОК составляется, очевидно, из следующих множителей:  что и дает число 2520.

Ответ 307

Январь 2, 2008

Во всех случаях раскладывания мандаринов по пакетам не хватает только одного мандарина. Следовательно, если бы мы имели одним мандарином больше, то их число делилось бы на 10, на 9, на 8, на 7, на 6, на 5, на 4, на 3 и на 2.

Ответ 308

Январь 2, 2008

Таких чисел бесчисленное множество. Наименьшее из них 58. В самом деле, разность между делителем и остатком во всех случаях равна 2. Следовательно, если к искомому числу добавить 2, то оно разделится без остатка на любой из указанных в задаче делителей.

Ответ 309

Январь 2, 2008

Наименьшее кратное чисел 2, 3, 4, 5 и 6 равно 60. Надо найти кратное 7, на 1 большее кратного 60. Заметим, что

Ответ 310

Январь 2, 2008

Очевидно, что задуманное число кратно 7, 8 и 9. Значит, оно равно 7х 8х 9=504. Других множителей у него нет, так как при наличии самого меньшего из них, то есть еще одной двойки, искомое число стало бы уже четырехзначным.

Ответ 311

Январь 2, 2008

НОК чисел 4, 8, 12 и 16 есть 48. Следовательно, теплоходы сойдутся через 48 недель, то есть 4 декабря 1953 г.

Ответ 312

Январь 2, 2008

Цена на соль и мыло кратна числу 3. Количество пачек сахару и пирожных тоже кратно трем. Поэтому сумма стоимости всех покупок должна быть кратна числу 3. Этой кратности не было в сумме, обозначенной на чеке. Значит, в подсчетах имеется ошибка.

Ответ 313

Январь 2, 2008

Решение основывается на том наблюдении, что левая сторона уравнения делится на 9, значит, и правая сторона должна делиться на 9. Следовательно, должна делиться на 9 и сумма цифр: 4+9+2+а+4. Но 4+9+2+4= 19. Следовательно, а=8. Других значений а иметь не может, так как заменяет цифру.

Ответ 314

Январь 2, 2008

Левая часть равенства делится на 11. Значит, и правая часть должна делиться на 11. В соответствии с признаком делимости на 11 имеем: . Отсюда а=8. (Другие случаи, предусмотренные признаком делимости, здесь не имеют места, так как дают для а отрицательные или двузначные значения.)

Ответ 316

Январь 2, 2008

Запишем трехзначное число в обычной алгебраической форме:

Ответ 317

Январь 2, 2008

Пусть N — число, разбивающееся на 3 грани. Представим его в следующей форме:

Ответ 318

Январь 2, 2008

Примените такой же прием доказательства, как в решении предыдущей задачи. Из доказанного свойства будет следовать такое правило определения делимости данного числа на 3, 7 и 19:

Ответ 319

Январь 2, 2008

Известно, что х—1 делится на х—1 (см. стр. 258). Следовательно,

Ответ 320

Январь 2, 2008

Ответ 320.1.