В труде, в учении, в игре, во всякой творческой деятельности нужны человеку сообразительность, находчивость, догадка, уменье рассуждать — все то, что наш народ метко определяет одним словом смекалка. Смекалку можно воспитать и развить систематическими и постепенными упражнениями, в частности, решением математически задач как школьного курса, так и задач, возникающих из практики, связанных с наблюдениями окружающего нас мира вещей и событий.
Для Математической смекалки я также отбирал и в случае надобности обрабатывал задачи из числа тех, которые рассыпаны по страницам обширной отечественной и зарубежной популярной литературы, стремясь, однако, не повторять задач, включенных в распространенные книги Я. И. Перельмана по занимательной математике).
Первая глава состоит из разнотипных начальных упражнений «затейного» характера, опирающихся на догадку и непосредственные физические действия (эксперимент), иногда на несложные расчеты в пределах арифметики целых чисел (первый раздел главы) и дробных чисел (второй раздел). Несколько нарушая классификационную стройность книги, я выделил в первую главу часть несложных задач, тематически принадлежащих последующим главам. Это сделано в интересах тех читателей, которым еще трудно самостоятельно отличить посильную задачу от непосильной. Решая подряд разнотипные задачи первой главы, они смогут попробовать свои силы, а затем возникший интерес к определенной теме перенести на соответствующие задачи последующих глав.
В разных местах книги предлагаются читателю небольшие темы для самостоятельных изысканий.
Проверьте и поупражняйте свою смекалку вначале на таких задачах, для решения которых требуется лишь целеустремленная настойчивость, терпение, сообразительность и уменье складывать, вычитать, умножать и делить целые числа.
Школьники — мальчик и девочка — только что произвели метеорологические измерения. Теперь они отдыхают на пригорке и смотрят на проходящий мимо них товарный поезд. Паровоз на подъеме отчаянно дымит и пыхтит. Вдоль полотна железной дороги ровно, без порывов дует ветер.
Помните талантливого умельца мастера Данилу из сказки П. Бажова Каменный цветок?
Положите на стол 6 шашек в ряд попеременно — черную, белую, еще черную, еще белую и т. д., так:
Положите на стол три кучки спичек. В одну кучку положите 11 спичек, а в другую — 7, в третью — 6. Перекладывая спички из любой кучки в любую другую, нужно сравнять все три кучки, чтобы в каждой было по 8 спичек.
На рисунке изображен план небольшого яблоневого сада (точки — яблони). Садовник обработал все яблони подряд. Начал он с клетки, отмеченной звездочкой, и обошел одну за другой все клетки, как занятые яблонями, так и свободные, ни разу при этом не возвращаясь на пройденную клетку.
Проверьте свою геометрическую наблюдательность, сосчитайте, сколько треугольников в фигуре, изображенной на следующем рисунке:
В корзине лежат 5 яблок. Как разделить эти яблоки между пятью девочками, чтобы каждая девочка получила по одному яблоку и чтобы одно яблоко осталось в корзине?
Скажите, сколько в комнате кошек, если в каждом из четырех углов комнаты сидит по одной кошке, против каждой кошки сидит по 3 кошки и на хвосте у каждой кошки сидит по кошке?
Мальчик плотно прижал грань синего карандаша к грани желтого карандаша. Один сантиметр (в длину) прижатой грани синего карандаша, считая от нижнего конца, запачкан краской. Желтый карандаш мальчик держит неподвижно, а синий, продолжая прижимать к желтому, опускает на 1 см, затем возвращает в прежнее положение, опять опускает на 1 см и опять возвращает в прежнее положение; 10 раз он так опускает и 10 раз поднимает синий карандаш (20 движений).
Небольшой воинский отряд подошел к реке, через которую необходимо было переправиться. Мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг офицер замечает у берега двух мальчиков, забавляющихся в лодке. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков — не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Каким образом?
Это — тоже старинная задача; встречается в сочинениях VIII века. Она имеет сказочное содержание.
В узком и очень длинном желобе находятся 8 шариков, четыре черных слева и четыре белых чутьчуть большего диаметра справа. В средней части желоба в стенке имеется
Знаете, над чем задумался молодой мастер? Перед ним 5 звеньев цепи, которые надо соединить в одну цепь, не употребляя дополнительных колец. Если, например
На столе лежат 3 спички. Не прибавляя ни одной спички, сделайте из трех — четыре. Ломать спички нельзя.
Положите на стол 3 спички и предложите товарищу добавить к ним еще 2 так, чтобы получилось восемь. Разумеется, ломать спички нельзя.
Из 8 палочек, четыре из которых вдвое короче остальных четырех, составьте 3 равных квадрата.
В токарном цехе завода вытачиваются детали из свинцовых заготовок. Из одной заготовки — деталь. Стружки, получившиеся при выделке шести деталей, можно переплавить и приготовить еще одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из 36 свинцовых заготовок?
Небольшая межколхозная гидроэлектростанция построена комсомольцами. Ко дню ее пуска пионеры украшают электростанцию снаружи со всех четырех сторон гирляндами, лампочками и флажками.
В квадратном зале для танцев поставить вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены их было поровну.
Возьмите 16 каких-нибудь предметов (бумажек, монет или шашек) и расположите их по 4 в ряд, как показано на рисунке. Уберите 6 штук, но так, чтобы осталось в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном рядах по четному числу предметов. Убирая разные 6 штук, можно получить разные решения.
В вершинах треугольника (см. рисунок) я поместил числа 1, 2 и З, а вы разместите числа 4, 5, 6, 7, 8, 9 по сторонам треугольника так, чтобы сумма всех чисел вдоль каждой стороны треугольника равнялась 17. Это нетрудно, так как я подсказал, какие числа следует поместить в вершинах треугольника.
Двенадцать девочек стали в круг и начали играть в мяч. Каждая девочка бросала мяч своей соседке слева. Когда мяч обходил весь круг, его перебрасывали в противоположном направлении. Через некоторое время одна девочка сказала:
Возьмите лист бумаги и нанесите на нем девять точек так, чтобы они расположились в форме квадрата. Перечеркните теперь все точки четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги.
Решите теперь задачу, в некотором смысле противоположную предыдущей. Там мы соединяли точки прямыми линиями, а здесь надо провести три прямые линии так, чтобы отделить коз от капусты.
Скорый поезд шел из Москвы в Ленинград без остановок со скоростью 60 километров в час. Другой поезд тоже без остановок шел ему навстречу из Ленинграда в Москву со скоростью 40 километров в час.
Недалеко от берега стоит корабль со спущенной на воду веревочной лестницей вдоль борта. У лестницы 10 ступенек. Расстояние между ступеньками 30 см. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды. Океан сегодня очень покоен, но начинается прилив, который поднимает воду за каждый час на 15 см.
1. Разделить круглый циферблат часов двумя прямыми линиями на три части так, чтобы, сложив числа, в каждой части получить одинаковые суммы.
В музее я видел старинные часы с римскими цифрами на циферблате, причем вместо знакомой нам записи числа четыре (IV) стояли четыре палочки (НИ). Трещины, образовавшиеся на циферблате, делили его на 4 части, как показано на рисунке. Суммы чисел в каждой части оказались неодинаковыми: в одной — 21, в другой — 20, в третьей— 20, в четвертой — 17.
Как-то в один дом срочно попросили зайти часовщика.
Расположите на столе 9 пуговиц в форме квадрата по 3 пуговицы на каждой стороне и одну в центре (см. рисунок). Заметьте, что если вдоль какой-нибудь прямой линии располагаются две пуговицы или более, то такое расположение мы всегда будем называть рядом.
Нетрудно догадаться, как расположить 16 шашек в 10 рядов по 4 шашки в каждом ряду. Гораздо труднее расположить 9 шашек в 10 рядов так, чтобы в каждом ряду было по 3 шашки.
На листе чистой бумаги нарисуйте фигуру, изображенную на рисунке, увеличив при этом ее размеры в два—три раза, и приготовьте семнадцать монет следующего достоинства:
В девятнадцати кружках на рисунке надо расставить все целые числа от 1 до 19 так, чтобы сумма чисел в любых трех кружках, лежащих на одной прямой, равнялась 30.
Следующие 4 задачи решайте «на скорость», кто быстрее даст правильный ответ.
Фигурный рак, изображенный на рисунке к этой задаче, сложен из 17 кусочков.
За книгу заплатили 1 рубль и еще половину стоимости книги. Сколько стоит книга?
По автомагистрали Москва — Симферополь два спортсмена одновременно начали тренировочный велопробег навстречу друг другу. В тот момент, когда между велосипедистами осталось всего 300 км, пробегом очень заинтересовалась муха. Слетев с плеча одного велосипедиста и опережая его, она помчалась навстречу другому. Встретив второго велосипедиста и убедившись, что все благополучно, она немедленно повернула обратно. Долетела муха до первого спортсмена и опять повернула ко второму.
Будет ли в этом столетии такой год, что если его записать цифрами, а бумажку повернуть верхним краем вниз, то число, образовавшееся на повернутой бумажке, будет выражать тот же год?
Первая шутка. Папа позвонил дочке, попросил ее купить кое-что из вещей, нужных ему к отъезду, и сказал, что мелочь лежит в коробочке на письменном столе. Девочка, мельком взглянув на коробочку, увидела написанное на ней число 98, вынула деньги, не сосчитав их, положила в сумку, а коробочку смяла и выбросила.
Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько мне лет теперь?
Дайте вашему товарищу две монеты: одну с четным числом копеек, а другую — с нечетным (например, двухкопеечную и трехкопеечную). Пусть он, не показывая вам, одну из этих монет (любую) возьмет в правую руку, а вторую — в левую.
У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?